Es gibt auch eine numerische Berechnung zur Messunsicherheit, die von Kragten (1994) eingeführt wurde. Diese ist auf die Anwendung in einem Tabellenkalkulationsprogramm ausgelegt. Diese funktioniert nur für Messunsicherheiten im linearen Bereich der Funktion und ohne Korrelationen. Man geht wie folgt vor:
Die Mittelwerte der Messungen werden entlang einer Spalte zeilenweise untereinander geschrieben
Die Messunsicherheiten werden werden in eine Zeile spaltenweise geschrieben, so dass sie in der selben Reihenfolge wie die Mittelwerte aufscheinen
Nun verlinkt man in den Zeilen unterhalb der Messunsicherheiten
jeweils den Mittelwert vom linken Rand. Am einfachsten geht das (für
unser Beispiel) indem man die Formel =$B3 in die
linkere obere Zelle schreibt und dann diese Formel über das
komplette Raster zieht.
Achtung: das Dollarzeichen ist nicht optional! Es bedeutet hier “B” bliebt fix beim ziehen der Zeller.
Nun addiert man entlang der Diagonale jeweils zu den Mittelwerten die Messunsicherheit, die oben in der Spaltenüberschrift steht (blaue Zellen in der Abbildung).
Man fügt nun unter ersten Spalte mit den reinen Mittelwerten die Formel, die zum eigentlichen Messergebnis führt ein. Diese Formel zieht man unter alle Zellen des Rasters (grüne Zellen in der Abbildung)
Nun bildet man die Differenz zwischen dem Ergebnis unter dem jeweiligen Spalten zum Ergebnis unter der Spalte der Mittelwerte. Dies entspricht der Abweichung im Messergebnis, das durch die Änderung im Eingabewert erzeugt wird. Für die Fehlerfortpflanzung wäre das . (Lila Zellen in der Abbildung.)
Nun quadriert man diese Differenzen in der Zeile darunter um zu erhalten. (Orangene Zellen)
Diese quadrierten Differenzen werden nun aufsummiert (braune Zelle). Man erhält
Durch Wurzelziehen erhält man (gelbe Zelle)
Und damit hat man sowohl den Erwartungswert des Messergebnis als auch die kombinierte Standardmessunsicherheit berechnet (rot umrandet). Die etwas komplexe Funktion hier rundet das Ergebnis und stellt es mit ± Zeichen dar. Alternativ kann der Ergenis natürlich aus den entsprechende Zellen abgelesen werden.
Das Ergebnis findet sich in der rot umrahmten Zelle.
Setzt sich die Messunsicherheit eines Eingangswertes aus mehreren additiven Komponenten zusammen, kann man die kombinierte Messunsicherheit dieses Wertes wie im vorigen Abschnitt beschrieben als Wurzel aus der Summe der Quadrate der Unsicherheiten berechnen und in den Kragten Raster gleich mit der kombinierten Messunsicherheit gehen.
Das LibreOffice File mit den Berechnungen finden Sie hier: kragten.ods
- Kragten, J. (1994). Tutorial Review. Calculating Standard Deviations and Confidence Intervals with a Universally Applicable Spreadsheet Technique. Analyst, 119(10), 2161–2165. 10.1039/AN9941902161